어린이과학동아&수학동아 기사

몬티 홀 문제는 전형적인 확률 문제로, 문제는 이렇다. 

1번, 2번, 3번 문이 있다. 그 중 하나가 당첨이고, 나는 당첨을 원한다. 내가 1번을 골랐다고 해 보자. 그 경우 자신이 고른 문의 결과는 밝혀지지 않으며 다른 문, 즉 2번 문과 3번 문 중 하나가 답이 아니라는 것이 밝혀진다. 여기서는 3번 문이 아니라는 것이 밝혀졌다. 1번 문 또는 2번 문 중, 지금 바꿀 수 있는 기회가 주어지는데, 과연 바꾸는 것이 바꾸지 않는 것보다 유리할까?

당신이 한 게임 쇼에 참여하여 세 문들 중 하나를 고를 기회를 가졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 바꾸는 것은 이득이 되는가? (출처: 나무위키)

이러한 문제에서 다른 많은 사람들과 같이 나도 두 확률 모두 1/2라 생각했지만 다른 설명들을 듣고 탐구하며 이것의 정답을 알아내었다. 

다음과 같은 2가지의 전략에 대해 생각해 보았다. 

1. 
   

   무조건 선택을 바꾸지 않는다

   
   

이 경우에는, 처음에 정답을 고를 확률, 즉 1/3만이 정답이 된다. 3번을 골랐을 경우, 바꾸지 않는 전략을 사용한다면 1번이 정답일 경우에는 2번이 아니라는 것이 공개될 것이고, 바꾸지 않으면 오답을 고르게 된다. 2번이 정답일 경우, 1번이 아니라는 것이 공개될 것이고, 이번에도 바꾸지 않으면 오답을 고르게 된다. 마지막으로 3번이 정답이라면, 이번에는 바꾸지 않아야 정답을 고를 수 있다. 이렇게 바꾸지 않는 것의 확률은 1/3라는 것을 알 수 있다. 

2. 
   

   무조건 정답을 바꾼다

   
   

이 경우에는, 처음에 오답을 고를 확률, 즉 2/3만이 정답이 된다. 3번을 골랐을 경우, 바꾸는 전략을 사용한다면 1번이 정답일 경우에는 2번이 공개될 것이고, 바꾸면 정답을 고르게 된다. 2번이 정답일 경우, 1번이 아니라는 것이 공개될 것이고 이번에도 바꿀 경우 정답을 고르게 된다. 마지막으로 3번이 정답이라면, 이번에는 바꾸면, 1번이나 2번 중 하나가 공개될 것인데, 무엇으로 바꾸든 정답은 3번이기에 오답을 고르게 된다. 3번 중 2번이 정답이므로 이렇게 바꾸는 것의 확률은 2/3이라는 것을 알 수 있다. 

이 문제를 보면, 문의 수가 많아질수록 불리한 게임이 될 것 처럼 보이지만,  문이 100개가 될 경우 오답의 확률이 높아지므로, 바꿀 경우 정답을 맞출 확률은 더 높아진다. 물론 100개 중 1개가 아닌 98개를 열 때만 해당된다. 

만약 100개의 문 중에서 1개만 열린다면 바꾸는 것이 더 확률이 높을지 탐구해 보았다. 

이것을 줄여서 4개로 바꿔 보면, 이런 문제가 생긴다. 

당신이 한 게임 쇼에 참여하여 네 문들 중 하나를 고를 기회를 가졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 세 문 뒤에는 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 4번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 또는 3번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 어느 쪽으로든 바꾸는 것은 이득이 되는가?

링크를 누르면 코딩한 것을 볼 수 있다. 결과는 대략 이렇다. 

바꿨을 때 성공률은 약 31.4퍼센트, 바꾸지 않았을 경우 성공률은 24.9퍼센트 정도이다. 

따라서 여기서 역시 정답을 바꿔야 한다고 볼 수 있다. 

그 결과로, 100개의 문일 때에도 역시 바꾸는 게 조금이라도 유리하다 할 수 있다.

참고: 이 글은 서울대학교 과학영재교육원 심화반 지원자 자기소개서에 적을 내용입니다.