어린이과학동아&수학동아 기사

안녕하세요. 임은규 기자입니다. 삼각함수에 대해 설명드리겠습니다.

삼각함수는 수학, 공학, 금융, 건설 등에서 유용하게 쓰이고 있는 수학적 개념입니다.

(이하 노트식으로 작성하겠습니다.)

• 삼각함수란?

삼각함수의 기본개념은 a,b,c의 꼭짓점이 있는 직각삼각형에서 (아래 그림 참고) sin=빗변/높이, cos=빗변/밑변, tan=밑변/높이 이다.

(출처:​https://kukuta.tistory.com/199)

0에다가 작대기 그은 표시는 어렵게 생각하지 말자.

세타로 그저 각도인데 변수인 각도라고 생각하면 된다. 예를 들어 보면 세타가 45도 (쉽게 90도의 반으로 했다.)일때 우리는 sin(45)=1/루트2, cos(45)=1/루트2, tan(45)= 1 이다. 피타고라스 정리에 의해 바로 나온다. 이것은 각 bac가 45도라면 어느 크기의 직각삼각형이든지 그 비는 똑같다.

• 원에서 삼각함수 찾기.

(출처: https://boycoding.tistory.com/53)

그림에서 나온 반지름이 1인 원과 선이 맞닿는 (x,y) 좌표를 생각해보자. (x,y)라고 써있는 점까지의 거리를 arc라고 한다.그러면 라디안의 법칙에 따라 각 θ=arc가 된다. 길이가 각도와 같다는 것은 이해가 안되겠지만 이후 라디안에서 설명할 것이다.

직각 삼각형을 그려 보면 반지름은 1이므로, 삼각함수 법칙에 따라 밑변은 x 좌표는 cos(arc) 에서 만나기 때문에 x좌표가 cos(arc) 이고, y 좌표는 sin(arc) 이다. 그러면 그 점의 좌표는 (cos(arc), sin(arc))가 된다. 이처럼 원 에서도 삼각함수를 찾을 수 있다.

• 본격적으로 라디안에 대해 알아보자

arc가 θ인 이유는 반지름을 1로 정의하면, 원의 전체 둘레도 2파이, 원의 중심각도 2파이가 된다. 두개가 같다! 그러면 답이 나왔다. 어떤 각에 대한 원의 둘레의 길이는 그 각과 똑같다. 하지만 각이라고 표현하기는 어렵다. 그래서 이 각을 라디안이라고 읽고 rad라고 쓴다.

즉 θ는 ARCrad라고 한다(분류하기 위해 arc를 대문자로 썼다.)

그러면 파이라디안 값을 알아보자. 한 원 평면상의 점을 파이 라디안만큼 돌리면 x 좌표는 -1, y좌표는 0이니 순서쌍으로 나타내면 (-1,0)이 된다. 그리고 파이 라디안은 180도가 된다.

그러면 1 라디안은 1 rad=180도/파이가 된다.

다시 응용을 해 보자. 중심각이 x일 경우 (0부터 90 사이) arc*(180/파이)=x도 가 된다. 그러면 자연스레 arc=파이x/180이 나온다.그러면 sin(arc)=sin(파이x/180)가 나온다.cos도 똑같다.

cos(arc)=(파이x/180)이 나온다.

• 다른 성질들.

피타고라스 정리로부터 이런 식이 나온다. cos^2(arc)+sin^2(arc)=1이 된다.

그리고 cos(arc+파이)같은 것을 구하자 일단 arc만큼 간 점의 좌표(sin(arc , sin(arc))에서 각각 마이너스를 붙인다.(원의 길이는 2파이이고 우리는 파이만큼 돌려야 하니)

(-cos(arc), -sin(arc))가 된다.그러면 cos(arc + 파이)=-cos(arc)가 된다.

이상으로 이 글을 마치겠다.