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수학탐구활동: 숫자근의 성질

헨리 듀드니(1857-1930)의 문제들 중 수학 퍼즐 역사에 한 획을 그은 문제로, 숫자근의 성질을 이용한 참신한 퍼즐이 있다. 

‘다음과 같은 6개의 숫자들 중 3개를 더하면 제곱수가 된다. 그 3개의 숫자는 무엇일까?

4,784,887, 2,494,651, 8,595,087, 1,385,287, 9,042,451, 9,406,087

이 퍼즐의 제작자 헨리 듀드니는 ‘숫자근’을 이용해 풀어야 하는 문제라고 설명했다. 

‘숫자근’은 숫자의 각 자리수를 모두 더해 1자리 숫자가 나올 때까지 반복하면 나오는 수이다. 

예를 들어 34,953의 숫자근은, 3+4+9+5+3=24, 2+4=6이므로 6이라는 것이다. 

숫자근의 성질 중, a의 숫자근+b의 숫자근은 a+b의 숫자근과 같다는 사실, 

그리고 제곱수의 숫자근은 1, 4, 7, 9중 하나라는 것을 이용해 푼다고 하였다. 

6개의 숫자의 숫자근을 모두 구해 보면, 

4,784,887의 숫자근은, 4+7+8+4+8+8+7=46, 4+6=10, 1+0=1

2,494,651의 숫자근은, 2+4+9+4+6+5+1=31, 3+1=4

8,595,087의 숫자근은, 8+5+9+5+0+8+7=42, 4+2=6

1,235,287의 숫자근은, 1+3+8+5+2+8+7=34, 3+4=7

9,042,451의 숫자근은, 9+0+4+2+4+5+1=25, 2+5=7

9,406,087의 숫자근은, 9+4+0+6+0+8+7=34, 3+4=7

1, 4, 6, 7, 7, 7 중, 더했을 때 1, 4, 7, 9 가 숫자근인 수 또는 이 수가 되는 조합을 찾아보면, 

1, 4, 6 은 2가 나오고, 1, 4, 7 은 3이 나오며, 4, 6, 7 은 8이 나오고, 1, 6, 7 은 5가 나온다. 

1, 7, 7 은 6이 나오고, 6, 7, 7 은 2가 나오며, 남은 조합인 4, 7, 7 만이 4+7+7=18, 1+8=9로 제곱수가 될 수 있는 조합이다. 

그러나, 숫자근이 1, 4, 7, 9인 숫자가 모두 제곱수는 아니므로, 3개의 7이 숫자근인 수 중 4,784,887과 합해지면 제곱수가 되는 2개의 숫자를 찾는다. 

2,494,651+1,385,287+9,042,451=12,922,389

2,494,651+1,385,287+9,406,087=13,286,025

2,494,651+9,042,451+9,406,087=20,943,189

이 중 제곱수는 13,286,025로 제곱근은 3645이다. 

정답: 2,494,651 / 1,385,287 / 9,406,087

-제곱수의 숫자근을 찾아보았다. 81의 숫자근은 9, 25의 숫자근은 7, 361의 숫자근은 1이다. 

-숫자근이 7인 52와 숫자근이 3인 12를 더한 64의 숫자근은 1로, 7+3인 10의 숫자근과 같다. 

참고: 이 글은 서울대학교 과학영재교육원 심화반 지원자 자기소개서에 적을 내용입니다.