어린이과학동아&수학동아 기사
세상에서 가장 쉽지만 누구도 풀지 못한 문제
재미있는 게임을 하나 준비했습니다! 수학이지만, 수학은 학교랑 학원에서 빼면 다 재밌으니 걱정하진 마세요!
1937년, 콜라츠라는 학자 한 명이 이런 문제를 만들었답니다.
1. 아무 숫자나 골라 봅시다!
21을 골랐습니다! 좋은 선택이군요!
2. 홀수라면 3을 곱한 뒤, 1을 더합니다!
21 곱하기 3은 33이고, 1을 더하면, 34네요!
3. 짝수라면 2로 나눕니다!
34 나누기 2는 17입니다!
4. 계속 이러한 알고리즘(문제를 해결하기 위한 절차나 방법)을 시행합니다!
그럼 17에서 계속 가봅시다!
17 곱하기 3은 51이고 1을 더하면, 52가 되네요.
52를 2로 나누면 26이 되고요.
26은 짝수니까 또 2로 나누면 13입니다.
13 곱하기 3은 39, 1을 더하면 40입니다.
40은 짝수니까 2로 나누면 20.
20 역시 짝수니까 2로 나누면 10.
10도 짝수니까 2로 나누면 5.
5는 드디어 홀수입니다! 3을 곱하면 15, 1을 더하면 16이군요!
16을 다시 짝수니까 2로 나누면, 8.
8도 짝수니까 2로 나누면 4.
4도 짝수, 2로 나누면 2.
2도 짝수, 2로 나누면 1.
1은 홀수니까 3으로 곱한 3에, 1을 더하면 4인데,
4는 짝수니까 2로 나눠서 2로,
2도 다시 짝수니까 2로 나누면 1.
1 곱하기 3에 1을 더하면 다시 4입니다.
이러한 굴레에 빠지게 되었네요.
다른 수로 해봐도 웬만한 수는 모두 이러한 굴레에 빠지는 엔딩으로 끝나게 됩니다.
콜라츠는 이러한 발견에 흥미를 느끼고 추측을 해 보았죠.
'어떠한 임의의 자연수는 다음과 같은 과정을 거치면 언젠가 1이 될 것이다.'
- 1. 짝수라면 2로 나눈다.
- 2. 홀수라면 3을 곱하고 1을 더한다.
- 3. 1이면 계산을 멈추고, 1이 아니면 첫 번째 단계로 돌아간다.
만약 이러한 과정을 거쳐도 절대 1이 되는 수를 발견한다면 이 추측이 틀렸다는 것을 답으로 낼 수 있는 것이고,
어렵겠지만 이러한 과정을 거치면 모두 1이 된다는 것을 발견한다면, 그것 역시 이 추측이 옳다는 것을 문제의 답으로 할 수 있습니다.
이 추측이 맞다는 것을 증명하려 한 사람들은 수천 명이 넘었지만 어느 수학자들도 이 문제를 해결할 수 없었습니다.
그러나 하나의 결정적인 힌트가 있었죠.
컴퓨터로 지금까지 2^68까지의 (무려 20자리가 넘는, 100,000,000,000,000,000,000가 넘는) 자연수까지 모두 계산해 보았으나 모두 결론은 1이 되어 루프를 타게 되었습니다만,
평균적으로 홀수 하나가 있을 때 다음에 오는 홀수는 평균적으로 3/4 정도로 작아졌으니, 홀수들은 점점 작아져 나중엔 1이 될 것이라는 또 하나의 추측을 만들어 냈습니다.
우리가 21을 계산했을 때도, 21 다음에 온 홀수는 17, 그 다음에 온 홀수는 13, 그 다음엔 5. 이렇게 점점 작아지며 1이 되었죠.
3가지 중 하나는 답입니다.
1. 모든 수가 1이 된다.
이것을 증명하면 될 것입니다. 모든 수를 다 계산할 수는 없으니 수학적으로 증명된 사실들을 사용해 증명해야겠죠.
2. 1이 되지 않는 수가 있다.
그 수를 찾아내면 될 것입니다, 하나만이라도 찾아낸다면 이 문제의 답은 풀리게 됩니다.
3. 증명이 불가능하다.
증명이 불가능하다는 것을 증명하면 됩니다. 만약 그것도 증명이 불가능하다면, 이 문제는 풀리지 않게 됩니다.
이렇게 보니 아주 어려워 보이지만, 여러분은 이미 이해하셨으므로, 풀 자격이 있습니다.
모두에게 자격이 주어지는 문제라는 점에서, 매우 잘 만든 문제라 생각이 듭니다.
이 문제를 푼다면, 거액의 상금과 명예는 물론이며, 세계적으로 위인이 될 수 있습니다.
그런만큼, 이 문제는 절대로 얕봐서는 안 되는 문제입니다.
그럼 한번 이 문제를 연구해 보시겠습니까?
연구할 가치가 분명 있을 겁니다.
“우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않습니다” - 폴 에르되시
출처:
https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3568350&cid=58944&categoryId=58970
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%9C%EB%9D%BC%EC%B8%A0_%EC%B6%94%EC%B8%A1
https://namu.wiki/w/%EC%BD%9C%EB%9D%BC%EC%B8%A0%20%EC%B6%94%EC%B8%A1
이미지 출처: 픽사베이 (상업적으로 이용 가능)
글쓰기 평가어린이과학동아 기자2021.10.23
<세상에서 가장 쉽지만 누구도 풀지 못한 문제>라는 제목인데요. 가장 쉽다고 하기에는 문제를 이해하는 것도 꽤 어렵지 않나 생각이 드네요. ^^ 다만 아질 풀리지 않은 문제라고 하기에는 그래도 이해할 수 있을 정도라는 뜻이지 않나 싶어요. 수학에 흥미를 가진 친구들은 문제만 이해해도 훌륭한 게 아닌가 싶어요. 오늘 글에서는 어떤 문제인지 충분히 설명하긴 했지만, 이 문제가 어떤 점에서 의미가 있고 왜 누구도 풀지 못할 만큼 어려운지, 또 누가 만든 문제인지 등 이런 내용이 좀 더 들어가면 더 좋지 않을까 생각이 드네요.
21이 3번 있으면 63인데요?
마지막으로